译文|用期权定价公式为“状况或有证券”定价

译者

南湖互联金融学院祝小全

本文译自罗伯特·默顿教授在麻省理工大学斯隆商学院开设的课程“AssetManagement，LifecycleInvestingandRetirementFinance”第7讲“ExtractingForward-LookingRiskandReturninformationfromDerivativesPrices”。

这一模块的宗旨是从期权定价公式和蝶式期权战略中提取信息，进而对状况或有证券进行定价。相似的使用见黄奇辅和李兹森伯格·罗伯特合著的金融经济学根底（FoundationforFinancialEconomics）。

在布莱克-斯克尔斯国际（Black-ScholesWorld）中，阿罗-德布鲁证券（Arrow-DebreuSecurity，简称AD证券）能够从期权组合中提取信息并进行定价，而任何杂乱证券的收益都能够用AD证券的组合来仿制，所以相当于用期权组合完成了齐备商场中所有证券的定价。

设想如下情形：存在一个状况或有证券，付出收益的触发条件为：在时间T时，假如股票价格处于E+0.005美元和E-0.005美元之间时（E为履行价格），就付出给出资者1美元的收益。怎么对该状况或有证券进行定价？不失一般性，假如能对股票价格处于E+e美元和E-e美元之间（e为接近于零的小量）就触发付出的状况或有证券用蝶式期权战略进行定价，那么只需令e=0.005，上述具体问题即方便的解决。

考虑一个蝶式期权战略：

1）购买一个履行价格为E-e的看涨期权，到期日为T；

2）卖出2个履行价格为E的看涨期权，到期日为T；

3）购买一个履行价格为E+e的看涨期权，到期日为T。

如图1所示，坐标X1=E-e，X2=E，X3=E+e，歪斜部分斜率为+1的两条虚线分别为购买一个履行价格为E-e的看涨期权的收益和购买一个履行价格为E+e的看涨期权的收益，歪斜部分斜率为-2的虚线为卖出2个履行价格为E的看涨期权的收益。归纳来看，蝶式期权战略的收益如图1中的实线所示。

当实线坐落水平坐标轴上方时，蝶式期权战略完成正收益，该部分的面积为：

蝶式期权战略在价格环绕E动摇较小时，即股价动摇规模在（E-e，E+e）内时能够完成正收益；一旦股价动摇超越该规模，蝶式期权战略也或许呈现亏本。从全体看，蝶式期权战略的净收益为图1实线左右两头水平线相夹构成的三角形的面积，即

图1蝶式期权战略

在时间T，蝶式期权战略的收益为（记T时间财物价格为V(T)）：

1）若V(T)≤E-e，则收益为0；

2）若E-e≤V(T)≤E，则收益为V(T)-E+e；

3）若E<V(T)≤E+e，则收益为2(E-V(T))+V(T)-E+e=E-V(T)+e；

4）若V(T)>E+e，则收益为0。

假定到期日价格变化的无量小量的步长为e，则发生1单位付出的看涨期权的出资组合为：

函数F即期权定价公式：

参数d1和d2的界说为：，。其间，N(d1)和N(d2)分别为随机变量V从负无量到d1、d2的累积散布函数值。

那么在t时间，AD证券单位步长的头寸价值为：

假定一期财物价格散布接连，看涨期权价格对履行价格二阶可微，则当无量小量e→0时，有：

即:

依据微分的原始界说，这儿F关于E的二阶导数有限，意味着T时间状况或有证券的价格为0。理论大将F函数关于E的二阶导函数当作付出1单位收益的状况或有证券的价格密度（即概率密度函数），而极限含义下的二阶导函数值，恰是点V(T)=E处的概率密度函数值。

（完）

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